Kvantil je zajednički naziv za percentile, decile i kvartile. To je mera koja deli distribuciju na jednaka percentilna rastojanja.

Percentili

Percentili dele distribuciju rezultata na 100 delova, tj. svaki deo sadrži 1% rezultata distribucije. Percentili mogu biti bilo koji celi brojevi od 1 do 100. Određeni percentil odgovara tački na distribuciji koja daje odgovarajući procenat rezultata do te tačke, uključujući i taj rezultat. Na primer: ako neko ima 100IQ, on se nalazi na pedesetom percentilu, što znači da 50% populacije ima isti koeficijent inteligencije ili manji.

U literaturi se često kao sinonim za percentile koristi termin percentilni rang.

Pošto je medijana središnji rezultat u distribuciji, ona je jednaka 50. percentilu.

Percentili nisu isto što i procenti. Percentili predstavljaju određeni procenat rezultata u nekoj distribuciji koji su poređani od većeg ka manjem. Na primer, ako se nečiji rezultat testa nalazi na 60. percentilu, to znači da je 60% ispitanika taj test uradilo lošije, a ne da je ispitanik odgovorio tačno na 60% pitanja.

Da bi odredili koji rezultat se nalazi na nekom percentilu, moramo izračunati poziciju tog percentila u datoj distribuciji. Formula za izračunavanje pozicije i-tog percentila je

i=P/100*n

gde je

  • i - pozicija traženog percentila u distribuciji,
  • P - traženi percentil,
  • n - ukupan broj rezultata u distribuciji.

Prvo je potrebno rezultate poređati od manjeg ka većem. Zatim se traženi percentil podeli sa sto i taj količnik pomnoži sa ukupnim brojem rezultata u distribuciji. Ako je dobijeni rezultat ceo broj, onda je pozicija traženog percentila u sredini između dobijenog rezultata i prvog većeg rezultata. Ako dobijeni rezultat nije ceo broj, tada se on zaokružuje na prvi veći ceo broj i on predstavlja ordinalnu poziciju traženog percentila.

Primer: Izračunavanje percentila

Pretpostavimo da želimo da izračunamo 33. percentil na primeru visine devojčica u 52 odeljenju osnovne škole "X". Merenjem smo dobili sledeće rezultate izražene u centimetrima: 140, 141, 138, 140, 122, 160, 154, 132, 148, 135, 140.

Prvi korak u izračunavanju percentila je da poređamo rezultate po veličini i tada bi oni izgledali ovako: 122, 132, 135, 138, 140, 140, 140, 141, 148, 154 i 160. Ukupno imamo 11 merenja. Kada podatke ubacimo u formulu za izračunavanje pozicije percentila dobijamo

p33=33/100*11, odnosno
p33=3,63.

Pošto dobijeni rezultat nije ceo broj, zaokružujemo na prvi veći ceo broj, a to je 4. Traženi percentil se nalazi na 4. poziciji ordinalno poređanih rezultata i to je 138.

Odgovor: Skor koji odgovara 33. percentilu je 138, što znači da je 33% devojčica u 52 odeljenju osnovne škole "X" niže od 138 cm ili iste visine, a 67% više ili iste visine.

Decili

Decili dele distribuciju rezultata na 10 delova, a svaki deo sadrži 10% rezultata distribucije. Decili mogu biti bilo koji celi brojevi od 1 do 10. Rezultat koji odgovara desetom percentilu pada na gornju granicu prvog decila distribucije, itd.

Decili su poseban slučaj percentila. Zbog toga se pozicija decila računa prema formuli za poziciju odgovarajućeg percentil. Na primer:

D1=P10=10/100*n
D2=P20=20/100*n

Primer: Izračunavanje decila

Merenjem visine devojčica 52 odeljenja osnovne škole "X" dobili smo sledeće podatke izražene u cm: 140, 141, 138, 140, 122, 160, 154, 132, 148, 135, 140. Pretpostavimo da želimo da saznamo koji rezultat odgovara 9. decilu.

Prvi korak u izračunavanju decila je da poređamo rezultate po veličini i tada bi oni izgledali ovako: 122, 132, 135, 138, 140, 140, 140, 141, 148, 154 i 160. Imamo ukupno 11 rezultata merenja visine devojčica.

Da bi izračunali 9. decil, 11 pomnožimo sa 90% ili sa 0,90, 11*0,90=9,9. Kako proizvod nije ceo broj zaokružujemo ga na prvi veći i to je deset. Položaj devetog decila je na desetoj poziciji distribucije rezultata poređanih od većeg ka manjem i to je 154.

Odgovor: Rezultat koji odgovara 9. decilu je 154, što znači da 90% devojčica u odeljenju 52 je visoko 154cm ili manje.

Interdecilni rang je razlika između skora koji pada na 9. decil i skora koji pada na 1. decil. Interdecilni rang obuhvata središnjih 80% rezultata.

Kvartili

Kvartili dele distribuciju na četiri jednaka dela, a svaki deo sadrži 25% rezultata distribucije.

Rezultat koji odgovara 50. percentilu pada na gornju granicu 2. kvartila i to je ujedno i medijana distribucije. Prvi kvartil se označava sa Q1, a treći sa Q3. Pozicija medijane tj. drugog kvartila se računa prema formuli opisanoj u tekstu o medijani.

Kvartili su poseban slučaj percentila. Zbog toga se pozicija kvartila računa prema istoj formuli kao i za računanje pozicije percentila:

Q1=P25=25/100*n
Q3=P75=75/100*n

Izračunanje pozicije kvartila je objašnjeno kroz sledeći primer.

Primer: Izračunavanje kvartila

Merenjem visine devojčica 52 odeljenja osnovne škole "X" dobili smo sledeće podatke izražene u cm: 140, 141, 138, 140, 122, 160, 154, 132, 148, 135, 140.

Prvi korak u izračunavanju kvartila je da poređamo rezultate po veličini i tada bi oni izgledali ovako: 122, 132, 135, 138, 140, 140, 140, 141, 148, 154 i 160. Imamo ukupno 11 rezultata merenja visine devojčica.

Da bi izračunali 1. kvartil, 11 pomnožimo sa ¼ ili sa 0,25, 11*0,25=2,75. Kako proizvod nije ceo broj zaokružujemo ga na prvi veći i to je tri. Položaj prvog kvartila je na trećoj poziciji i to je 135.

Da bi izračunali 3. kvartil 11 pomnožimo sa ¾ ili sa 0,75; 11*0,75=8,25. Kako proizvod nije ceo broj zaokružujemo ga na prvi veći i to je devet. Položaj trećeg kvartila je na devetoj poziciji ordinalno poređanih rezultata i to je 148.

Odgovor: Skor koji odgovara 1. kvartilu je 135, što znači da se 25% devojčica u odeljenju 52 je visoko 135 ili manje. Skor koji odgovara 3. kvartila je 148, što znači da se 75% devojčica u odeljenju 52 je visoko 148 ili manje.

Interkvartilni rang je razlika između skora koji pada na 3. kvartil i skora koji pada na 1. kvartil. Navodi se uz medijanu, obuhvata središnjih 50% rezultata i ignoriše vrednosti ispod 1. kvartila i iznad 3. kvartila. Interkvartilni rang je korisna mera varijabilnosti ukoliko u nizu rezultata postoje ekstremne vrednosti i ako se sumnja da je raspodela asimetrična. Kod takvih distribucija on je bolja mera varijabiliteta od standardne devijacije.

Semi-interkvartilni rang se dobija kada se interkvartilni rang podeli sa dva. Na ovaj način se dobija 25% rezultata ispod i iznad medijane tj. ispod i iznad 2. kvartila. Semi-interkvartilni rang je posebno koristan kada se radi sa ordinalnim varijablama ili kada postoje ekstremne vrednosti sa obe strane medijane. Semi-interkvartilni rang se obično navodi uz medijanu.