Случајни догађај

Основни састојак теорије вероватноће је експеримент који се, макар хипотетички, може поновити у суштински идентичним условима, а који, са сваким понављањем, може водити ка различитим исходима. Скуп свих могућих исхода експеримента се назива простор узорка.

Скуп исхода, односно простор узорка, може бити коначан или бесконачан.

Ако је коначан, значи да се мера изражава на прекидној скали, као на пример број гласача који су гласали за одређеног кандидата. Друга мерења су на непрекидној скали. То су углавном физичке величине као што су температура, време реакције, маргинални приход и сл.

Због једноставности, математичари су прво изучавали експерименте са коначним простором узорака и то такве код којих је вероватноћа појединачних исхода једнака. У овом случају, вероватноћа појединачног исхода је дефинисана као однос броја пожељних исхода и укупног броја исхода.

Случајни догађај је онај догађај чији исход не може да се предвиди унапред. Познат је само скуп исхода од којих један сигурно мора да буде, а сматра се да је баш тај исход резултат случајности.

Догађај је добро дефинисани подскуп простора узорка. При томе, подскуп може имати произвољан број елемената, све док је мањи од броја елемената у скупу.

Елементарни догађај је подскуп простора узорка који има само један елемент.

Сложени догађај је подскуп простора узорка који има више од једног елемента, тј. састоји се од више од једног елементарног догађаја.

Догађаји се обележавају великим латиничним словима А, Б, Ц итд. Вероватноћа неког догађаја А означава се изразом П(А) и мора да задовољи услов

0≤П(А)≤1

Постоје процеси који увек производе исти исход. Догађаји који су резултат оваквих процеса називају се сигурни догађаји. Вероватноћа дешавања оваквих догађаја је 1.

Ако као резултат процеса не може да се деси одређени догађај, кажемо да је то немогућ догађај. Вероватноћа дешавања немогућег догађаја је 0.

Вероватноћа случајног догађаја који није сигуран или немогућ се налази између 0 и 1 и има различите интерпретације. На пример, ако је П(Е)=0.0001, тада сматрамо да је изузетно мала вероватноћа да ће се десити догађај Е. Насупрот томе, ако је П(Е)=0.9999, тада је веома вероватно да ће се десити догађај Е.

Пресек и унија догађаја

Претпоставимо да имамо два догађаја: А и Б.

Пресек догађаја А и Б се обележава са А∩Б, а чине га исходи који припадају простору узорка који је заједнички догађајима А и Б. Пресек догађаја није празан ако постоји макар један исход догађаја такав да припада простору узорка догађаја А и догађаја Б. На тај начин пресек догађаја А и Б одговара логичком оператору „и“.

Међусобно искључиви догађаји су такви догађаји код којих појава једног догађаја искључује могућност појаве других догађаја. Пресек међусобно искључивих догађаја је празан скуп. По дефиницији, сви елементарни догађаји су међусобно искључиви.

Унија догађаја А и Б се обележава А У Б и одговара логичком оператору „или“. Унија догађаја није празна ако се догодио макар један исход догађаја А или Б. Формула за израчунавање броја исхода уније два догађаја гласи

н(А У Б) = н(А) + н(Б) - н(А∩Б)

Број исхода догађаја А је н(А), а број исхода догађаја Б је н(Б). Унија обухвата све исходе А и све исходе Б, што обухвата и оне исходе који су у пресеку догађаја. Због тога се пресек догађаја мора искључити из формуле за рачунање броја исхода у унији догађаја, јер би се у супротном ти исходи бројали два пута.

Пошто је пресек међусобно искључивих догађаја једнак 0, ова формула се за међусобно искључиве догађаје поједностављује и гласи

н(А У Б) = н(А) + н(Б)

Када формулу за унију догађаја А и Б поделимо са бројем могућих исхода н(С), добијамо вероватноћу дешавања уније догађаја:

П(А У Б) = П(А) + П(Б) - П(А∩Б)

односно, за међусобно искључиве догађаје

П(А У Б) = П(А) + П(Б)

Ова формула је позната као правило сабирања и важи само за међусобно искључиве догађаје.

Вероватноћа уније догађаја А и Б не може бити мања од вероватноћа догађаја А и Б, тј.

П(А У Б) ≥ макс(П(А), П(Б))