Стандардна нормална дистрибуција

Нормална дистрибуција је најпознатија дистрибуција континуиране варијабле која је случајно распоређена. Свака нормална дистрибуција се може претворити у стандардну нормалну расподелу, тј. стандардизовати. Ова дистрибуција се најчешће од свих теоретских дистрибуција користи у статистици закључивања.

Стандардна нормална дистрибуција има аритметичку средину 0 и стандардну девијацију 1. Стандардна нормална расподела, као и свака теоретска дистрибуција, нам омогућава да знамо пропорцију или проценат случајева испод или изнад одређеног резултата. Другим речима, стандардна нормална дистрибуција нам омогућава да сазнамо вероватноћу појаве таквог резултата.

Особине стандардне нормалне расподеле су:

• Аритметичка средина µ=0, а стандардна девијација σ=1.
• Површина испод криве је једнака 1, односно обухвата 100% случајева (због чега се и користе ознаке за популацију).
• Појединачни резултати се приказују на X оси у облику з скорова или з вредности (стандардни скорови) који се рачунају по формули

  

З вредност је мера удаљености појединог резултата од аритметичке средине изражена у стандардним девијацијама.

На X оси су приказане све вредности које једна варијабла може да има, изражено у броју стандардних девијација од аритметичке средине. На И оси су приказане фреквенције или колико је пута нека вредност опажена у популацији и означава се са малим словом ƒ. Понекад се на И оси приказује пропорција или вероватноћа таквог резултата и тада се вредност на ординати креће од 0 до 1. Што је резултат чешће опажен биће ближи аритметичкој средини, а што је удаљенији од аритметичке средине, било у позитивну или негативну страну дистрибуције, биће ређе опажен.

Са слике се види да се испод и изнад аритметичке средине налази 50% резултата, односно вероватноћа да неки резултат буде испод или изнад аритметичке средине износи 0,5. Резултат који је изнад аритметичке средине имаће позитиван предзнак з скора, а сваки резултат испод аритметичке средине имаће негативан предзнак з вредности. З скор резултата који је једнак аритметичкој средини је једнак нули. З скор резултата који пада на једну стандардну девијацију изнад аритметичке средине ће бити једнак 1, а з=-1 означава резултат који пада на једну стандардну девијацију испод аритметичке средине.

Проценат резултата између -1з и +1з је 68,26%, односно вероватноћа да се неки резултат налази између -1з и +1з је 0,6826. Проценат резултата који се налазе између аритметичке средине и -1з или између µ и +1з је половина од површине између -1з и +1з, тј. 34,13 (68,26/2).

Између -2з и + 2з се налази 95,44% резултата, односно вероватноћа да се неки резултат налази између -2з и +2з је 0,9544. Проценат резултата који се налазе између аритметичке средине µ и +2з је пола од површине између -2з и +2з тј. 95,44/2=47,72. Такође, између µ и -2з је 47,72 процената резултата.

Проценат резултата између -3з и +3з је 99,74%, односно вероватноћа да се неки резултат налази између -3з и +3з је 0,9974. Проценат резултата који се налазе између аритметичке средине µ и +3з је пола од површине између -3з и +3з тј. 99,74/2=49,87.

Пропорција случајева изван -3з и +3з је 0,26%, што значи да се 0,13% (0,26/2=0,13) резултата налази испод -3з, тј. вероватноћа да неки резултат буде испод -3з износи 0,0013, као што је вероватноћа да неки резултат буде изнад +3з износи 0,0013.

Функција стандардне нормалне криве гласи

Израчунавање интеграла је компликовано, па се због тога величина површине испод криве очитава у статистичким таблицама, или се рачуна употребом софтвера.