Поасонова дистрибуција настаје када су вредности случајне променљиве X број догађаја који се дешавају у различитим регионима времена и простора под следећим условима:

  • догађаји се дешавају независно један од другог;
  • вероватноћа свих догађаја је иста;
  • није могуће да се два догађаја десе у тачно истом региону времена или простора и
  • просечна вредност броја дешавања догађаја у датом временском интервалу је коначна и позната.

За догађаје који испуњавају ове услове се каже да су дефинисани Поасоновим процесом. У стварном свету постоји много Поасонових процеса:

  • број телефонских позива на случајно изабрани дан,
  • број аутомобила који прођу путем у случајно изабраном периоду од сат времена,
  • број аутомобилских несрећа на аутопутевима случајно изабраног региона у случајно изабраном месецу,
  • број грешака у куцању на случајно изабраној страници сајта и др.

Ако случајна променљива X има Поасонову дистрибуцију са очекиваном вредношћу λ, скраћено се пише

X ~ По(λ)

Функција дистрибуције гласи:

Funkcija Poasonove distribucije

Очекивана вредност Поасонове дистрибуције је

Е(X) = λ

Варијанса Поасонове дистрибуције је

σ2(X) = λ

Пример: Број позива на 988

Из искуства је познато да типичним радним даном између 11 и 12 сати пре подне служби информација просечно стиже по 2 позива сваког минута. Претпостављајући да позив може бити упућен у било које доба дана, одредите вероватноћу да ће за 1 минут стићи 4 позива.

Одговор: Пошто позиви стижу у случајно изабрани тренутак времена, ради се о Поасоновом распореду. Нека случајна променљива X буде дефинисана као број позива који пристижу у случајно изабраном минуту времена и пошто је просечан број позива по минуту 2 (тј. λ=2), следи:

П(X=4)=(24*е-2)/4!= 0.09, тј. 9%.

Пошто дистрибуција није ограничена по броју елемената које случајна променљива може узети, графички приказујемо само одређени број елемената.

За вредности λ < 1, мод дистрибуције је једнак 0, а дистрибуција је асиметрична. Што је очекивана вредност већа, то дистрибуција поприма више симетричан облик. На великом броју експеримената приближно 95% опсервација упада у ранг -2 до +2 стандардне девијације од очекиване вредности.

У нашем примеру, када израчунамо вероватноће за вредности случајне променљиве X у рангу од 0 до 9, добијамо облик као на графикону.

Poasonova distribucija

Између Поасонове и биномне дистрибуције постоји веза која се може описати на следећи начин: ако случајна променљива X са параметрима н и п има биномну дистрибуцију, при чему је н довољно велико, а п приближно једнако 0, тада је дистрибуција те случајне променљиве приближно Поасонова дистрибуција која има очекивану вредност нп.